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【蒟蒻数学】泰勒展开式
这两天已经变成的ACMer的标学长回来传授了一些有趣的东西,感觉会在一些奇奇怪怪的题目上运用上。今天我们就先来讲...
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2018/07

【蒟蒻数学】泰勒展开式

这两天已经变成的ACMer的标学长回来传授了一些有趣的东西,感觉会在一些奇奇怪怪的题目上运用上。今天我们就先来讲讲神奇的泰勒展开式。【PS 思路来源于 Orz大佬

什么是泰勒展开式

首先,泰勒展开式是长这样的:
1.PNG

是不是看起来很让人懵逼很让人迷惑,没事,就下来我就带领你尽量还原泰勒发明的过程,从如何创作这条泰勒公式的角度,走进这条美丽奇幻的泰勒公式。

深入浅出的理解泰勒展开式

在公元1712年,数学界在函数——特别是对简单函数的研究和应用已经趋于成熟,但是一个复杂的问题一直困扰着整个数学界——如何描述一个复杂的函数呢?

在当时,对于简单的函数比如 y=x+1 ,图像性质都已经非常成熟了,但是对于复杂函数,比如:
2.PNG这种一看就非常复杂的函数,还有那种根本就找不到表达式的曲线。当时的数学界除了代入一个x可以得到它的y,就啥事都很难干了。

这时我们的泰勒站了出来!她决定找出一种方法,让这些式子统统现出原形,统统变简单。

3.PNG

让我们假装沿着泰勒同学的思路来:

要让一个复杂函数变简单,能不能把它转换成别的表达式?比如函数4.PNG,怎么看都看不出化简的思路,那怎么办呢?我们先不要一口吃掉它,可以先从它最小的部分算起,比如说一个点4.5.PNG,以得到:5.PNG。暂时看不出有什么规律。

那就继续增大研究的对象,比如说4.5.PNG的左邻右舍5.5.PNG6.PNG,可以得到:7.PNG,其中8.PNG,好像还是看不出什么规律,但是聪明的泰勒早已看破了这一切。

因为9.PNG,所以原式可以化简为10.PNG。所以机智的泰勒想,会不会是酱紫:11.PNG,即12.PNG。嗯先假设是这样,然后谨慎的泰勒同学决定验证一下。

先求个导试试:13.PNG。对了,泰勒同学很激动!继续求:14.PNG,咦,不对了。那说明有了一些问题。仔细分析一下问题在哪呢?

我们可以尝试把15.PNG拆开来:16.PNG,然后分析他们之间有什么共性。

让我们对17.PNG进行求导看看:

一阶导:18.PNG,嗯多了个m.PNG

二阶导:19.PNG,多了20.PNG。好像有点规律了,

......

m.PNG阶导:21.PNG

m+1.PNG阶导:0。23.PNG是一个常数,所以对23.PNG求导就是0了。

这里规律很明显了,m.PNG阶导以后都是0!但是m.PNG阶导以前呢【即导完m次还不是常数的】?还是蛮复杂的,不过不用担心,因为24.PNG,即25.PNG,所以m.PNG阶导以前也都是0,而m.PNG阶导就是26.PNG。非常完美!

这样就很清晰了:对27.PNGm.PNG阶导为28.PNG。但是我们想要的值是29.PNG,那就把30.PNG给除掉!

即乘于一个31.PNG,所以32.PNG,证明完毕。泰勒同学解决了这个问题,还写了一封信给挚友,非常开心的入睡了。

泰勒展开式的运用

运用神奇的泰勒展开式,我们就可以求解一些难以直接计算的数值的近似值了,比如 e^2 , 我们可以构造 f(x)=e^x, 然后带x0=0,进行求导就很显然了。
【PS x0一般视情况选择0或1等会比较方便计算】
下面给出一些常见式子的泰勒展开式:
kkk.png

结语

通过这篇BLOG,相信你已经了解了泰勒展开和一些经典运用,希望你能在数学的道路上一往无前。希望你喜欢这篇BLOG!

Last modification:June 10th, 2019 at 01:22 am
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One comment

  1. 标学长本人

    其实在oi中暂时没什么应用,但是在数学中应用就大了去了,比如可以估计某些超越数的大小,比如你可以算一下sin69°的近似值。在导数大题中你可以用它构造一些辅助函数,比如常用的不等式e^x>1+x正是来源于泰勒展开。
    顺便说一句,计算机中计算e^x、lnx和sinx等函数的原理就是泰勒展开后计算到相应的精度。

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